增長(zhǎng)模型參考：線(xiàn)性增長(zhǎng)，第二曲線(xiàn)，J型曲線(xiàn)、斐波那契數(shù)列、盧卡斯數(shù)列

增長(zhǎng)模型

都有哪些增長(zhǎng)模型？

增長(zhǎng)模型的關(guān)鍵是什么？ 

我們能獲得什么樣的啟發(fā)？ 

如何能獲得最大的增長(zhǎng)方式？

本篇會(huì)有數(shù)學(xué)公式，偏理科一點(diǎn)。

不過(guò)都不難，相對(duì)論其實(shí)也不難， 就算不太懂，查一下就大概知道了，關(guān)鍵是獲得啟發(fā)， 能用起來(lái)就行

想到這個(gè)話(huà)題，是因?yàn)橐粋€(gè)小故事小問(wèn)題：

有一個(gè)荷塘，里面的荷葉是每天翻倍長(zhǎng)的，就是以一天擴(kuò)大一倍的速度生長(zhǎng)，15天剛好就把荷塘長(zhǎng)滿(mǎn)了，問(wèn)：荷葉長(zhǎng)滿(mǎn)池塘的一半，是第幾天？

這個(gè)故事本來(lái)是說(shuō)明傳播的，在長(zhǎng)滿(mǎn)池塘的一半之前，荷葉始終只占池塘的一小部分，是屬于小眾群體；然而臨界點(diǎn)一到，就能一下子鋪滿(mǎn)整個(gè)池塘，大街小巷人人都在談?wù)摚蝗换鹌饋?lái)

這個(gè)故事告訴我們傳播的一個(gè)具體理想模型：成倍增長(zhǎng)傳播；另外告訴我們做事要堅(jiān)持，前期很長(zhǎng)時(shí)間都是小眾，而從小眾到大眾只需要一夜之間，雄雞一唱天下白

我在想，成倍增長(zhǎng)，能成倍增長(zhǎng)嗎？ 會(huì)有這么理想化的情況嗎？ 真能成倍增長(zhǎng)的話(huà)，那不是要高興死了？ 實(shí)際上不可能做到吧？

于是留意了下增長(zhǎng)模型， 發(fā)現(xiàn)大部分情況下，確實(shí)是不能成倍增長(zhǎng)的，然而也有能夠成倍增長(zhǎng)，甚至比成倍還要快的增長(zhǎng)方式，你我也一定都遇到過(guò)

下面具體說(shuō)一下

第一個(gè)是：線(xiàn)性增長(zhǎng)

固定的時(shí)間，增加固定的數(shù)量。 這就是線(xiàn)性增長(zhǎng)

比如每個(gè)月拿到固定的工資、每個(gè)月固定存下來(lái)多少， 就是線(xiàn)性增長(zhǎng)

線(xiàn)性增長(zhǎng)，同樣是一個(gè)理想模型， 實(shí)際情況大部分是離散模型

每個(gè)月存下來(lái)的數(shù)量是不固定的，有時(shí)候存的多，有時(shí)候存的少，就是離散模型，接近于線(xiàn)性模型，可以用一個(gè)虛擬的直線(xiàn)來(lái)表示

如果增加的量跟消耗的量差不多，那這條直線(xiàn)的斜率就很小接近于平的

如果增加的量還沒(méi)有消耗的量多，那這條直線(xiàn)就會(huì)向下而不是向上

這是關(guān)于線(xiàn)性模型。

有研究過(guò)股票的話(huà)， 一聽(tīng)到線(xiàn)性模型，就會(huì)想到指數(shù)模型

沒(méi)錯(cuò)，不過(guò)在指數(shù)模型之前，還有一個(gè)模型

正常的指數(shù)模型是“J”型曲線(xiàn)，然而實(shí)際的是“S”型曲線(xiàn)。 “S”型曲線(xiàn)就是Logistics模型增長(zhǎng)曲線(xiàn)

主要限制因素， 是環(huán)境阻力；外界資源有限。

這個(gè)曲線(xiàn)的產(chǎn)生，是生物學(xué)家研究種群數(shù)量繪制出來(lái)的

個(gè)人能力模型也適用于這個(gè)：前期花時(shí)間對(duì)某項(xiàng)能力能提高很快，越到后來(lái)，同樣的時(shí)間獲得的提高會(huì)越少。

買(mǎi)房子，一般前6套之前資源充足， 超過(guò)了之后各種資源會(huì)限制。

Logistics模型， 有幾個(gè)擴(kuò)展：

比如：產(chǎn)品生命周期，有著類(lèi)似曲線(xiàn)

外界資源環(huán)境變化，資源有時(shí)匱乏有時(shí)充足 曲線(xiàn)的高點(diǎn)和低點(diǎn)就會(huì)不一樣，如下圖

當(dāng)出現(xiàn)另外一種更適合環(huán)境、能獲得更多資源的種群時(shí)，即便環(huán)境變好了，第一個(gè)種群的發(fā)展仍然受到限制 甚至逐步消失

結(jié)合產(chǎn)品生命周期曲線(xiàn)，為了突破增長(zhǎng)、不被另外的企業(yè)物種淘汰，企業(yè)可以通過(guò)創(chuàng)新，找到新的產(chǎn)品，自我更新進(jìn)步 如下圖：

這就是著名的 “第二曲線(xiàn)” 理論。

每一個(gè)曲線(xiàn)，可以看做企業(yè)在一個(gè)時(shí)期內(nèi)的主力產(chǎn)品增長(zhǎng)引擎

第二曲線(xiàn)，又叫創(chuàng)新曲線(xiàn)， 可以是第二副業(yè)，也可以是新的賽道， 或新的趨勢(shì)、新的共識(shí)

下一模型：

開(kāi)頭的問(wèn)題，荷葉每天增長(zhǎng)一倍，用數(shù)列來(lái)表示的話(huà)是 1 2 4 8 16 32 64 … 等等。

特點(diǎn)是后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的兩倍。這就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的指數(shù)函數(shù)。 

一般地，函數(shù)y=ax(a為常數(shù)且以a>0，a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的定義域是R。[3]對(duì)于一切指數(shù)函數(shù)來(lái)講，值域?yàn)?0， +∞)。指數(shù)函數(shù)中前面的系數(shù)為1。

某種細(xì)胞在分裂時(shí)，1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)……因此，第x次分裂得到新細(xì)胞數(shù)y與分裂次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式即為這個(gè)指數(shù)函數(shù)。

單細(xì)胞分裂，是指數(shù)函數(shù)。

另外一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，導(dǎo)出來(lái)另外一個(gè)有趣的數(shù)字排列， 那就是：

斐波那契數(shù)列。研究過(guò)股票的人都知道

故事得從西元1202年說(shuō)起，話(huà)說(shuō)有一位意大利青年，名叫斐波那契。在他的一部著作中提出了一個(gè)有趣的問(wèn)題：假設(shè)一對(duì)剛出生的小兔一個(gè)月后就能長(zhǎng)成大兔，再過(guò)一個(gè)月就能生下一對(duì)小兔，并且此后每個(gè)月都生一對(duì)小兔，一年內(nèi)沒(méi)有發(fā)生死亡，問(wèn)：一對(duì)剛出生的兔子，一年內(nèi)繁殖成多少對(duì)兔子?

1202年，斐波那契在《算盤(pán)書(shū)》中從兔子問(wèn)題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，…，之后，并沒(méi)有進(jìn)一步探討此序列，并且在19世紀(jì)初以前，也沒(méi)有人認(rèn)真研究過(guò)它。沒(méi)想到過(guò)了幾百年之后，十九世紀(jì)末和二十世紀(jì)，這一問(wèn)題派生出廣泛的應(yīng)用，從而突然活躍起來(lái)，成為熱門(mén)的研究課題。以致1963年成立了斐波那契協(xié)會(huì)，還出版了《斐波那契季刊》

斐波那契弧線(xiàn) 或者斐波那契螺旋 或者叫黃金螺旋 

斐波那契數(shù)列，后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)之和。

比指數(shù)函數(shù)稍微小一點(diǎn)， 大概是少了一個(gè)正常生長(zhǎng)消耗。前后比例越來(lái)越接近黃金分割0.618

應(yīng)用：植物生長(zhǎng)符合此數(shù)列； 動(dòng)物繁育符合此數(shù)列； 股票漲跌，一般不是翻倍或減半，倒更符合黃金比例這個(gè)數(shù)列

ok，到下一個(gè)模型。

下一個(gè)模型， 可能聽(tīng)過(guò)的比較少，不過(guò)介紹斐波那契數(shù)列的時(shí)候也都會(huì)提到

那就是： 盧卡斯數(shù)列

斐波那契數(shù)列的表達(dá)式是 F(n)=F(n-1)+F(n-2) 第n項(xiàng)是第n-1項(xiàng)和第n-2項(xiàng)之和

盧卡斯數(shù)列的表達(dá)式是 

有點(diǎn)復(fù)雜 很難看懂。簡(jiǎn)單理解就是： P、Q都是參數(shù)， 斐波那契數(shù)列中的兔子是一次生育出來(lái)兩個(gè)。想一想，要是一次生育超過(guò)兩個(gè)呢？ 所以這里就加入可以調(diào)節(jié)的參數(shù)，參數(shù)就可以是任意大于零的自然數(shù)，比如5、6或者100都可以。

為啥要講盧卡斯數(shù)？ 是賣(mài)弄我數(shù)學(xué)學(xué)的好嗎？ 肯定不是。

現(xiàn)在新冠病毒，為啥傳染性那么厲害？ 因?yàn)橐粋€(gè)病毒進(jìn)入細(xì)胞后，能夠產(chǎn)生100個(gè)新的病毒甚至不止 ，就是符合盧卡斯數(shù)列。

所以，細(xì)胞分裂是成倍增長(zhǎng)、指數(shù)模型， 病毒增長(zhǎng)就是盧卡斯數(shù)列； 病毒在人類(lèi)中的擴(kuò)散模型，也是符合盧卡斯模型，參數(shù)就是一次平均傳染幾個(gè)人。

時(shí)間有限， 也比較深?yuàn)W，就不詳細(xì)講， 簡(jiǎn)單說(shuō)：

斐波那契數(shù)列，是自然增長(zhǎng)、內(nèi)生性增長(zhǎng)， 如細(xì)胞分裂、植物生長(zhǎng)

盧卡斯數(shù)列，是外生性增長(zhǎng)，如病毒增長(zhǎng)、癌細(xì)胞增長(zhǎng)、病毒擴(kuò)散、卵生胎生一次生很多個(gè)、互聯(lián)網(wǎng)用戶(hù)增長(zhǎng)、等等

內(nèi)生性增長(zhǎng)，是靠自身跟正常環(huán)境可以做到，是基礎(chǔ)。

外生性增長(zhǎng)，要有快速?gòu)?fù)制能力跟外部的趨勢(shì)。 快速?gòu)?fù)制能力， 靠神、性、氣等

外部條件，靠大趨勢(shì)。馬斯克、賈躍亭、雷軍等等， 都是盧卡斯數(shù)列的外生性增長(zhǎng)

這幾個(gè)增長(zhǎng)模型：線(xiàn)性增長(zhǎng)、S型曲線(xiàn)、J型曲線(xiàn)、斐波那契數(shù)列、盧卡斯數(shù)列， 簡(jiǎn)單說(shuō)完了

親愛(ài)的你，覺(jué)得有啟發(fā)嗎？ 現(xiàn)在適用的是哪一種呢？ 能用到哪一種呢？ 怎么才能用到我想用的那一種呢？

想一想這些問(wèn)題，一定價(jià)值千金。 你覺(jué)得呢？

—— 如果覺(jué)得文章還OK，請(qǐng)轉(zhuǎn)發(fā) ——

特別提示：關(guān)注本專(zhuān)欄，別錯(cuò)過(guò)行業(yè)干貨！

PS：本司承接 小紅書(shū) / 淘寶逛逛 / 抖音 / 百度系 / 知乎 / 微博/大眾點(diǎn)評(píng) 等 全網(wǎng)各平臺(tái)推廣；

咨詢(xún)微信：139 1053 2512 (同電話(huà))

首席增長(zhǎng)官CGO薦讀：

• 《增長(zhǎng)黑客官網(wǎng)》
• 《小紅書(shū)推廣：KOC種草，明星KOL，探店視頻，紅人推薦》
• 《抖音推廣：抖音關(guān)鍵詞排名，抖音種草，抖音數(shù)據(jù)監(jiān)測(cè)》

更多精彩，關(guān)注：增長(zhǎng)黑客（GrowthHK.cn）

增長(zhǎng)黑客（Growth Hacker）是依靠技術(shù)和數(shù)據(jù)來(lái)達(dá)成各種營(yíng)銷(xiāo)目標(biāo)的新型團(tuán)隊(duì)角色。從單線(xiàn)思維者時(shí)常忽略的角度和高度，梳理整合產(chǎn)品發(fā)展的因素，實(shí)現(xiàn)低成本甚至零成本帶來(lái)的有效增長(zhǎng)…